图形学笔记（二）图形学中的线性代数——向量、矩阵（转置、逆）、叉乘、点乘 图形学笔记（四）变换——三维变换（三维旋转与欧拉角）、MVP变换、视图变换、投影变换（正交投影与透视投影）
文章目录
1. 缩放(Scale)变换1.1 均匀缩放1.2 不均匀缩放
2. 镜像(Reflection)变换3. 切变Shear4. 旋转4.1 旋转矩阵及性质4.2 推导
5. 线性变换(Linear Transforms)6. 齐次坐标(Homogenous Coordinates)：6.1 引入6.2 齐次坐标6.2.1 齐次坐标的二维表示6.2.2 点和向量第三维为0和1的验证：6.2.3 点齐次坐标的意义
7. 仿射(Affine)变换7.1仿射变换的两种表示形式7.2 齐次坐标表示各种变换
8. 逆(Inverse)变换9. 变换组合(composite)：10. 变换的分解：
1. 缩放(Scale)变换
1.1 均匀缩放
代数形式：
x
′
=
s
x
y
′
=
s
y
x^{'}=sx\\ y^{'}=sy
x′=sxy′=sy矩阵形式： 其中，缩放矩阵：
(
s
0
0
s
)
\begin{pmatrix} s&0\\ 0&s\\ \end{pmatrix}
(s00s)
1.2 不均匀缩放
对应的缩放矩阵：
2. 镜像(Reflection)变换
水平镜像：
代数形式： 矩阵形式：
3. 切变Shear
切变：两个距离很近、大小相等、方向相反的平行力作用于同一物体上所引起的形变。 Tips： y=0时，水平方向的变化是0； y=1时，水平方向的变化是a； 整张图竖直方向的变化总是0。 矩阵变换：
4. 旋转
Tips：旋转默认是以(0,0)为中心，默认是逆时针方向。
4.1 旋转矩阵及性质
旋转Rotation矩阵：
R
θ
=
(
cos
θ
−
sin
θ
sin
θ
cos
θ
)
R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\\ \end{pmatrix}
Rθ=(cosθsinθ−sinθcosθ) 当角度为负数时（将
−
θ
-\theta
−θ代入），说明旋转矩阵是正交矩阵：
R
θ
=
(
cos
θ
sin
θ
−
sin
θ
cos
θ
)
=
R
θ
T
R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta&\sin\theta\\ -\sin\theta&\cos\theta\\ \end{pmatrix} = R_\theta^T
Rθ=(cosθ−sinθsinθcosθ)=RθT 可以得到旋转矩阵的以下性质：
R
−
θ
=
R
θ
−
1
R_{-\theta} = R_\theta^{-1}
R−θ=Rθ−1
4.2 推导
选两个原位置为(1,0)和(0,1)的特殊点，使二维矩阵待定系数，使用三角函数求解。
5. 线性变换(Linear Transforms)
线性映射（ linear mapping）是从一个向量空间V到另一个向量空间W的映射且保持加法运算和数量乘法运算，而线性变换（linear transformation）是线性空间V到其自身的线性映射。
线性变换（Linear Transforms） = 矩阵(Matrices)。 线性变换都可以写成矩阵相乘的形式，如下所示：
6. 齐次坐标(Homogenous Coordinates)：
齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。
6.1 引入
平移变换：
平移变换的表示形式：
存在的问题：以上的写法不能写成矩阵形式。 只能写成以下形式：
这里平移不再是线性变换，所以有没有办把包括平移在内的所有变换表示出来的统一方法呢？ 解决办法：齐次坐标。
6.2 齐次坐标
6.2.1 齐次坐标的二维表示
对于二维坐标，增加第三个维度：
二
维
的
点
=
(
x
,
y
,
1
)
T
二维的点=(x,y,1)^T
二维的点=(x,y,1)T
二
维
的
向
量
=
(
x
,
y
,
0
)
T
(
0
是
使
得
平
移
变
换
之
后
方
向
不
变
）
二维的向量=(x,y,0)^T(0是使得平移变换之后方向不变）
二维的向量=(x,y,0)T(0是使得平移变换之后方向不变）
6.2.2 点和向量第三维为0和1的验证：
如果点的第三维为0，那么点和向量运算保持了平移不变性（点+向量第三维不会超过1）。
6.2.3 点齐次坐标的意义
在齐次坐标下，点+点是这两个点的中点，如下所示（相加w变成2，然后横纵坐标全除以2）。
7. 仿射(Affine)变换
仿射变换，又称仿射映射，是指在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间。
7.1仿射变换的两种表示形式
线性映射+平移
齐次坐标的形式
7.2 齐次坐标表示各种变换
缩放 2.平移 3.旋转
8. 逆(Inverse)变换
表示为：
M
−
1
M^{-1}
M−1
M
−
1
M^{-1}
M−1在矩阵和几何意义上都是是变换M的逆。 简单的理解：把变换的操作反过来，如下图所示。
9. 变换组合(composite)：
如何得到以下变换？ 先平移再旋转，得到的结果是不对的： 先旋转再平移，得到正确的结果：
可以知道：
复杂的的变换可以通过简单的变换得到。变换的顺序非常重要（矩阵乘法不满足交换律）。矩阵是从右到左应用的。如下所示，先旋转再平移。
结论的推广（矩阵乘法满足结合律）：
将不同的变换矩阵进行合成：对于很多变换，可以先把变换做乘积，得到一个3*3的矩阵来表示十分复杂的矩阵。
10. 变换的分解：
例子：让矩阵按照某一点进行旋转（如下所示，先将旋转点平移到原点，然后再平移回去）。 变换矩阵的表示形式：